1引言

对于多关节机械手,轨迹规划是有约束非线性的复杂问题,在非线性系统的轨迹规划中,对逆系统方法进行了许多研究,Aspinwall提出脉冲构造方法,将机械臂的点位运动控制和振动抑制归结为非线性两点边值问题求解［1］，Jankowski引入逆系统方法,利用状态反馈和动态预补偿得到解耦线性系统［2］,这些方法还比较复杂,要应用于多杆系统的轨迹规划存在一定困难。文献［3］用旋量法描述机器人(机械手)未端夹持器在直角坐标空间的位置和姿态对时间函数所显示的运动轨迹,并利用速度矢量是雅可比矩阵列向量的线性组合关系,对广义坐标的运动量进行线性规划,避免了求解逆运动学方程,取得期望的关节位移和关节速度。

为了保证机械手终端运动的连续性和平滑性,本文作为文献［3］研究的继续,对求得在区间［0，T］各关节m＋1次的关节变量值和速度值,用一多项式拟合在子区间［ti－1，ti］内关节的运动,各轨迹段的拟合多项式系数采用递推方式求得,免去计算所有中间点,减少了计算量,并便于实时计算和实际应用。

2关节空间轨迹规划

规划的主要任务是选择合理的多项式函数或其它线性函数进行插补运算,使关节运动平滑、稳定,始终保持在关节运动容许的范围内。

3关节轨迹m段的选取

关节插补按一定采样周期Ts定时进行,对于空间插补,还应考虑插补距离对轨迹精度的影响,插补距离大,轨迹误差大,插补距离过小加大计算机的运算量,应根据允许的最大轨迹误差ΔS,来决定插补距离。在一个采样周期内各关节同步运动,每个周期末各关节有一加速度冲击,使机械手受到一固定频率fs＝1／Ts的振动,于此最大采样周期受到共振频率的限制,要求fs＞10fstructure［4］,使此振动远离机械手结构的谐振频率fstructure。

轨迹m段的选取步骤:

(1)取采样固定频率fs＞10fstructure［4］

(2)根据采样周期Ts的大小Ts＝1／fs,将时间区间［0，T］分成m段,依照手部运动的位置及姿态轨迹方程［3］：
xpi＝f1［λ（t）］ypi＝f2［λ（t）］zpi＝f3［λ（t）］

（10）

Ωxi＝ζ1［λ（t）］Ωyi＝ζ2［λ（t）］Ωzi＝ζ3［λ（t）］

（11）

得到m＋1个路径点的位置和姿态矢量。

(3)由传感器测得实际位置及姿态轨迹与期望作业的偏差

(4)如果Δr＞R，Δφ＞G则在路径点Pi－1与Pi之间增加一中间点,R、G为给定位置和姿态误差的概率。［5］

轨迹分段m的选择,还可从节省能量消耗的角度选择最佳的运行速度,这个最佳运行速度的选择应避免加速度的急剧变化,也就是使执行器和机械臂机构本身的变形减至最小,在此最佳的速度运行曲线段,存在一个执行的时间区域,区域内能量消耗实际上是恒定的,缩短或延长执行时间都有可能使能量消耗增加,实验表明m＜10是相当满足于得到最佳运行速度。

利用速度矢量是雅可比矩阵列向量的线性组合关系,求出m＋1个路径点各关节的位移和速度qi在区间［0，T］内便可选择插值函数,对关节进行轨迹规划。

4实例

设斯坦福机械手［4］在拟定轨迹中通过3个已知点P1（50，0，118），P2（110．5，50，84），P3（50．2，100，50）,并在三点保持姿态为Ω1（0，0，1．57）T，Ω2（0，－0．045，0）T，Ω3（0，0，1．57）T。P1，Ω1状态相对应的关节坐标及其相应的正弦和余弦值参阅文献［3］,试规划终端运动轨迹。

解:设机械手终端以圆弧轨迹规划,其位置坐标函数及姿态坐标函数为:
xp＝f1［λ（t）］＝60．5sin（2．9966°t）＋50
yp＝f2［λ（t）］＝－50．03cos（2．9966°t）＋50
zp＝f3［λ（t）］＝34cos（2．9966°t）＋84
Ωx＝ζ1［λ（t）］＝－0．05cos2（2．9966°t）＋0．05sin（2．9966°t）＋0．05
Ωy＝ζ2［λ（t）］＝－0．065sin2（2．9966°t）＋0．02cos（2．9966°t）＋0．02
Ωz＝ζ3［λ（t）］＝0．0012cos2（2．9966°t）－1．57sin（2．9966°t）＋1．569
设运动总时间T＝60s,并假设分为6个区间段,手端执行器在t时间的位置与姿态如表1。

表1手端执行器在i时间的位置与姿态

t0

t1

t2

t3

t4

t5

t6

xp

50．000

80．220

102．358

110．500

102．500

80．405

50．215

yp

0．030

6．658

24．934

49．900

25．090

93．252

100．02

zp

118

113．455

101．034

84．060

67．070

54．607

50．000

Ωx

0．000

0．037

0．081

0．010

－0．006

0．037

0．000

Ωy

0．000

0．003

－0．031

－0．045

－0．041

0．002

0．030

Ωz

1．57

0．786

0．211

－0．001

0．208

0．781

1．565

斯坦福机械手雅可比矩阵的三个子阵参考文献［3］，据式（12）、（13）可求得在t时间对应的各关节运动速度如表2。

表2在t时间对应的各关节运动速度（rad／s）

t0

t1

t2

t3

t4

t5

t6

1

0．0001

－0．103

－0．422

－0．866

－0．096

－1．113

0．075

2

0．000

－0．950

－1．476

－1．715

－0．067

－0．956

－0．006

3

0．063

0．248

0．539

－0．953

2．445

1．145

0．050

4

－0．003

－0．004

－0．002

0．000

0．001

0．003

0．003

5

－0．065

－0．951

1．477

1．715

0．023

0．956

0．003

6

0．019

0．967

1．094

0．087

0．068

1．074

0．000

据式（6）～（9）进行关节轨迹规划,并于每个时间段各取3个膝点,计算各关节在各段的待定系数,下面列出第二关节及第六关节的系数如表3。

用三次多项式(5)拟合各关节的运动得到关节轨迹簇,图1表示第二关节的运动轨迹,图2表示第六关节的运动轨迹。由于本规划具有误差反馈补偿自动收敛效应［3］,各关节的同步协同运动可以得到预期所需的终端操作器的位置和姿态轨迹精度。

表3各区段的akj系数（rad／s2）

t0－10

t10－20

t20－30

t30－40

t40－50

t50－60

第
二
关
节

a20

0．000

－4．750

18．750

15．400

6．600

1．600

a21

0．000

－0．950

1．600

－1．840

－0．067

－0．956

a22

－0．047

0．250

－0．236

0．110

－0．041

0．046

a23

0．000

0．008

0．004

－0．002

－0．000

0．000

第
六
关
节

a60

0．000

5．000

10．270

15．270

16．040

21．720

a61

0．000

0．967

1．983

0．087

0．068

1．074

a62

0．050

－0．233

－0．237

－0．334

－0．060

－0．054

a63

0．000

0．018

0．008

0．002

－0．011

0．000

5结论

本文提出的关节规划方法,能够满足机械手终端运行轨迹的位姿精度要求,由于轨迹函数的系数可以用递推的方法求出,无须事先计算所有中间点,不仅计算量减少便于实际运用,而且易于计算机实时计算。

参考文献

1AspinwallDM．AccelerationProfilesforMinimizingResidualResponse，ASMEJ．ofDynamicSystems，Measurement，andControl，1986，102：3－6
2JankowskiKP．InverseDynamicsTaskComtrolofFlexibleJointRobots－PartI：ContinuoutimeApproach，PartⅡ：Discrete－timeApproach，MechanismMachineTheory，1992
3林瑞麟.用旋量方法规划机器人运动轨迹,机械设计,1997
4严学高,孟正大.机器人原理,南京:东南大学出版社,1992
5余卫良,张启先.机器人误差分析的蒙特卡洛方法,机器人,1988

DvNews