浙江省一级重点中学
2004—2005学年第一学期三校（萧中、淳中、富中）期中联考高三年级数学试卷（理科）
命题、校对：富阳中学 陈国良 徐益春 2004．11.12
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设P＝{3，4}，Q＝{5，6，7}，集合S＝{(a，b)｜a∈P，b∈Q}，则S中元素的个数为
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
2．已知函数y＝f（x）的图象过定点（3，1），则函数y＝f -1（log2x）的图象必经过定点
（A）（1，8） （B）（8，1） （C）（2，3） （D）（3，2）
3．等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项平均值为5，若从中抽取1项，余下各项的平均值为4，则抽取的项是
（A）a11 （B）a10 （C）a9 （D）a8
4．函数 的单调递减区间是
（A）（e-1，＋∞） （B）（－∞， e-1） （C）（0，e-1） （D）（e，＋∞）
5．设函数 在x＝2处连续， 则a＝
（A） （B） （C） （D）
6．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如右图所示 (由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由图中曲线可得下列说法中正确的一个是（A）甲科总体的标准差最小
（B）丙科总体的平均数最小
（C）乙科总体的标准差及平均数都居中
（D）甲、乙、丙的总体的平均数不相同
7．数列{an}、{bn}均为等差数列，其中a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，那么数列{an＋bn}的前100项和为
（A）505000 （B）10000 （C）100 （D）0
8．二项式(x－i)4（i为虚数单位）的展开式中各项的系数和为
（A）4i （B）－4i （C）4 （D）－4
9．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
10．常数b为何值时，P (ξ＝k)＝ (k＝1，2，3，…)为离散型随机变量的概率分布
（A）2 （B）1 （C） （D）3
11．奇函数 在区间 上单调递减， ，则不等式 的解集为
（A） （B）
（C） （D）
12．已知函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则（A）b＜0 （B）0＜b＜1
（C）1＜b＜2 （D）b＞2
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．已知函数 ，当x∈[1，3]时有最小值8，则a的值等于 ．
14．在数列{an}中，a1＝1，(n+1) an＝(n－1) an－1 (n≥2)，Sn是前n项和，则 等于 ．
15．某人从家乘公交车到单位，途中有3个交通岗亭，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的期望值为 ．
16．设函数的定义域为I，若存在x0∈I，使f（x0）＝x0成立，则称以（x0，x0）为坐标的点是函数f（x）图象上的“稳定点”．若函数f（x）＝ 图象上有且仅有两个相异的“稳定点”，则实数a的取值范围是 ．
浙江省一级重点中学
2004—2005学年第一学期三校（萧中、淳中、富中）期中联考高三年级数学答卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
二、填空（每小题4分，共16分）
13、 14、 15、 16、
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17．（本题满分12分）设函数f (x)＝ 的定义域为A，
g(x)＝loga[(x－a－1)(2a－x )]（a＜1＝的定义域为B．
（1）求A．
（2）若B A，求实数a的取值范围．
18．（本题满分12分）某市政府市长公开电话共有A、B、C、D四部，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和数学期望．
19．（本题满分12分）已知a≤0，求函数f (x)＝ 的单调区间．
20．（本题满分12分）设二次函数f (x)＝x2＋bx＋c（b、c∈R），已知不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2＋cosβ）≤0．
（1）求证：b＋c＝－1；
（2）求证：c≥3；
（3）若函数f（sinα）的最大值是8，求b、c的值．
21．（本题满分12分）已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，数列{bn}满足 b10＝23，b25＝－22，且(bn＋1－bn＋2) lga1＋(bn＋2－bn) lga3＋(bn－bn＋1) lga5＝0（n∈N*）．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设cn＝｜bn｜，求数列{cn}前n项的和Sn．
22．（本题满分14分）已知函数f (x)＝ln (2－x)＋ax在开区间（0，1）内是增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若数列{an}满足0＜a1＜1，an＋1＝ln (2－an)＋an（n∈N*），证明：0＜an＜an＋1＜1；
（3）若数列{bn}满足0＜b1＜1，bn＋1＝2ln (2－bn)＋bn（n∈N*），试问数列{bn}是否单调．
浙江省一级重点中学
2004—2005学年第一学期三校（萧中、淳中、富中）期中联考高三年级数学试卷（理科）
（参 考 答 案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | C | A | C | C | A | B | D | A | B | C | A |
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．16． 14．2．
15．1.2． 16． ．
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17．（本题满分12分）
解 （1）解不等式2－ ≥0得x≥1或x＜－1，∴A＝ ．…（4分）
（2）（x―a―1）（2a－x）＞0 （x―a―1）（x－2a）＜0，由a＜1得2a＜a＋1，
∴2a＜x＜a＋1，即B＝（2a，a＋1）． ………………………………………（4分）
由B A得2a≥1或a＋1≤－1，又由题知a＜1，
∴a的取值范围是 ． ………………………………………（4分）
18．（本题满分12分）．
解 显然ξ∈{0，1，2，3，4}，
由题意得P(ξ＝0)＝(1－0.5)(1－0.5)(1－0.4)(1－0.4)＝0.09，……………………（1分）
P(ξ＝1)＝ 0.5·(1－0.5)(1－0.4)(1－0.4)＋ (1－0.5)(1－0.5)·0.4·(1－0.4)＝0.3，
…………………………………………………………………………………………（2分）
P(ξ＝3)＝ 0.5·0.5·0.4·(1－0.4)＋ 0.5·(1－0.5)·0.4·0.4＝0.2，……（2分）
P(ξ＝4)＝0.5·0.5·0.4·0.4＝0.04，……………………………………………（1分）
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | P | 0.09 | 0.3 | 0.37 | 0.2 | 0.04 |
|
∴P(ξ＝2)＝1―0.09―0.3―0.2―0.04＝0.37．……………………………………（2分）∴分布列为 …………………（2分）
∴数学期望Eξ＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8．…………（2分）
19．（本题满分12分）
解 ＝2xe-ax－ax2e-ax＝e-ax(2－ax)x，………………………………………………（3分）
①当a＝0时，f (x)＝x2＋1，减区间为 ，增区间为 ；……………（3分）
②当a＜0时， ＞0 （－ax＋2）x＞0 （x－ ）x＞0 x＞0或x＜ ，
故f(x)的增区间为 和 ，单调减区间为 ．………………（6分）
20．（本题满分12分）
解 （1）∵sinα∈[－1，1]，2＋cosβ∈[1，3]，
∴f (x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，且f (x)≤0对x∈[1，3]恒成立
∴f (1)＝0 b＋c＝－1．………………………………………………………（4分）
（2）由（1）知b＝－1－c， ∴f (x)＝x2－(c＋1)x＋c，又f (3)≤0，解得c≥3. （4分）
（3）由（2）知b＝－1－c≤－4 － ≥2，∴f (x)在[－1，1]上是减函数
∴f (sinα)max＝f (－1)＝8 c＝3，∴b＝－4．………………………………（4分）
21．（本题满分12分）
解 （1）由已知式得（lga3－lga1）bn＋2＋（lga1－lga5）bn＋1＋（lga5－lga3）bn＝0，
因{an}是公比为q等比数列，等式可化为lgq2·bn＋2＋lgq-4·bn＋1＋lgq2·bn＝0，∵q≠0，∴lgq≠0，∴bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，…………………………………（4分）
即bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn，∴bn＋1－bn＝b2－b1为常数，
即{bn}是等差数列，设公差为d，则 ，
解得 ，∴bn＝53－3n．………………………………………………（2分）
（2）设{bn}前n项和为Tn，∵当且仅当1≤n≤17时bn＞0，
∴Sn＝ ＝ ．……………（6分）22．（本题满分14分）．
解 （1） ＝－ ＋a，由题知 ＞0对x∈（0，1）恒成立，
容易判定 在（0，1）内单调递减，∴ ≥0 a≥1．……………（3分）
（2）用数学归纳法证明：
① 当n＝1时，
∵0＜a1＜1，∴ln (2－a1)＞0，∴a2＝ln (2－a1)＋a1＞a1．
又由（1）当a＝1时，f (x)＝ln (2－x)＋x在（0，1）内是增函数知
a2＝ln (2－a1)＋a1＜ln (2－1)＋1＝1．∴0＜a1＜a2＜1．…………………（2分）
② 假设当n＝k－1时，0＜ak－1＜ak＜1成立，
则ak＋1＝ln (2－ak)＋ak＞ak，
又由f (x)＝ln (2－x)＋x在（0，1）内是增函数知
ak＋1＝ln (2－ak)＋ak＜ln (2－1)＋1＝1．
∴0＜ak＜ak＋1＜1，可见结论对n＝k也成立．
综合①②知0＜an＜an＋1＜1对n∈N*均成立．………………………………（4分）
（3）{bn}不具有单调性．
令b1＝ ，b2＝ln ＋ ∈（1,2），∴b2＞b1，
而b3＝2ln (2－b2)＋b2＜b2，∴数列{bn}不单调．……………………………（5分）
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