利用直角三角形妙解中考应用题-免费试题下载-感叹号教育资源网

　　近年来，有些中考数学应用题，可利用直角三角形来解决，在这些直角三形中，常包含３００，４５０，６００等特殊角．下面举例说明：

　　一、求山高或建筑物的高

　　例１（河南）如图１，从山顶Ａ望地面Ｃ，Ｄ两点，测得它们的俯角分别是４５０和３００，已知ＣＤ＝１００米，点Ｃ位于ＢＤ上，则山高ＡＢ等于（）．

　　（Ａ）１００米（Ｂ）５０３√米

　　（Ｃ）５０２√米

　　（Ｄ）５０（３√＋１）米

　　解设ＡＢ＝ｘ米，则ＣＢ＝ｘ．在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ３００＝ＡＢＤＢ

　　 ∴ｘ１００＋ｘ＝３√３

　　解得ｘ＝５０（３√＋１）．从而正确答案应先（Ｄ）．

　　例２（江苏）如图２，已知楼高ＡＢ＝３０米，从楼顶Ａ处测得旗杆顶Ｃ的仰角为４５０，求旗杆的高ＣＤ（精确到０．１米）．

　　解作ＣＮ⊥ＡＢ于Ｎ，ＥＦ⊥ＣＤ于Ｆ．由题意可知∠ＮＡＣ＝３００，∠ＣＥＦ＝４５０．设ＣＤ＝ｘ米，则ＣＦ＝ｘ－５＝ＥＦ．在Ｒｔ△ＡＮＣ中，ＮＣ＝ＥＦ＝ｘ－５．而ＡＮ＝ＡＢ－ＮＢ＝ＡＢ－ＣＤ＝３０－ｘ．∴ｔａｎ３００＝ｘ－５３０－ｘ

　　＝３√

　　３

　　解得ｘ＝２５３√－１５２≈１４．１．

　　答旗杆ＣＤ的高约为１４．１米．

　　二、修渠与筑坝问题

　　例３（江苏）如图３，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽ＢＣ为８米，坝高１８米，迎水坡ＣＤ的坡角为４５°，背水坡ＡＢ的坡角的余弦值是４５，求坝底宽ＡＤ．

　　分析作高ＢＥ和ＣＦ，将梯形分解为两个直角三角形和一个矩形，然后再解直角三角形．

　　解作ＢＥ⊥ＡＤ于Ｅ，ＣＦ⊥ＡＤ于Ｆ，根据题意，知ＢＥ＝ＣＦ＝１８，ＥＦ＝ＢＣ＝８．∵∠ＣＤＦ＝４５°，∴ＤＦ＝ＣＦ＝１８．在Ｒｔ△ＢＡＥ中，∵ｃｏｓＡ＝４５∴可设ＡＥ＝４ｘ，ＡＢ＝５ｘ，则ＢＥ＝３ｘ，即３ｘ＝１８，∴ｘ＝６，即ＡＥ＝２４．∴ＡＤ＝ＡＥ＋ＥＦ＋ＦＤ＝２４＋８＋１８＝５０．

　　答坝底宽为５０米．

　　三、隔河测量问题

　　例４（四川）如图４，河对岸有Ａ，Ｂ两目标．但不能到达，在河这边沿着与ＡＢ平行的方向取相距４０米的Ｃ，Ｄ两点（点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一平面内），并测得∠ＡＣＢ＝７０°，∠ＢＣＤ＝６５°，∠ＡＤＣ＝３０°．求Ａ，Ｂ两目标之间的距离（结果不取近似值，用含锐角三角函数的式子表示）．

　　分析作ＡＥ⊥ＣＤ，ＢＦ⊥ＣＤ，可将一般三角形的问题转化为直角三角形和矩形．

　　解作ＡＥ⊥ＣＤ于Ｅ，ＢＦ⊥ＣＤ于Ｆ，则四边形ＡＥＦＢ是矩形，ＡＢ＝ＥＦ．在Ｒｔ△ＡＣＥ中，∠ＡＣＥ＝１８０°－７０°－６５°＝４６°，∴∠ＥＡＣ＝４５°，ＡＥ＝ＥＣ．设ＥＣ＝ｘ，在Ｒｔ△ＡＥＤ中，ＡＤ＝２ＡＥ＝２ｘ．由勾股定理，得ｘ２＋（ｘ＋４０）２＝（２ｘ）２．∴ｘ１＝２０＋２０３√或ｘ１＝２０－２０３√（舍去）．ＡＥ＝ＥＣ＝ＢＦ＝２０＋２０３√．因此在Ｒｔ△ＢＦＣ中，ｃｏｔ∠ＢＣＦ＝ＣＦＢＦ

　　，则ＣＦ＝（２０＋２０３√）ｃｏｔ６５°．∴ＡＢ＝ＥＦ＝ＥＣ＋ＣＦ＝２０＋２０３√＋（２０＋２０３√）ｃｏｔ６５°．

　　答Ａ，Ｂ两目标之间的距离为２０＋２０３√＋（２０＋２０３√）ｃｏｔ６５°米．