解 设p₁、v₁与p₂、v₂分别表示玻璃直管沿竖直方向运动时，管中上、下两段空气柱的压强和体积。由于玻璃管水平放置时，水银柱位于管的正中央，说明管中两段空气柱的体积是相等的。对上、下两段空气柱分别应用玻意耳定律，有
　 p₀v₀＝p₁v₁，p₀v₀＝p₂v₂，
　 其中p₀、v₀表示玻璃管水平放置时两空气柱的压强和体积。
　 由于水银柱的长度是不变的，故有
　 v₁＋v₂＝2v₀，
　 根据题给条件，有 2v₁＝v₂。
　 由以上四式可得
　 p₁＝3/2p₀＝3/2ρgh₀，p₂＝3/4p₀＝3/4ρgh₀，
　 其中ρ表示水银密度，h₀＝72cm。
　 设玻璃管向下做匀加速运动，加速度为a，对水银柱进行受力分析，由牛顿第二定律，有
　 p₁s＋mg－p₂s＝ma，
　 即 3/2ρgh₀s＋ρghs－3/4ρgh₀s＝ρhsa，（s为玻璃直管内部的横截面积，h＝15cm）
　 解得 a＝（3h₀4h＋1）g＝4.6g＝45m/s²。
　 玻璃管沿竖直方向应以45m/s²的加速度向下运动。

　　说明 本例涉及玻意耳定律和牛顿第二定律，求解时应注意两部分气体与水银柱间的联系和单位的统一，切不可将气体压强的厘米水银柱数值直接代入牛顿第二定律表达式进行计算。

　　力学与电学的综合
　　带电物体在电场中的静止及在电场、磁场中的运动，通电导体在磁场中的静止和运动，这类问题除了应用电场、磁场和电磁感应等方面的知识外，还需要应用相应的力学规律。当电场是由连接在电路中的电容器产生时，当导体切割磁感线产生感应电动势而又形成闭合回路时，问题还可与恒定电流或交流电的知识联系在一起。力、电综合问题是历年 高考 的一个热点，正确分析物体的受力情况，是求解的关键。

　　例3（1997年 高考 科研试题） 如图2所示的电路中，四个电阻的阻值均为r，e为直流电源，其内阻可以不计，没有标明哪一极是正极。平行板电容器两极板间的距离为d。在平行板电容器的两个平行极板之间有一质量为m、电量为q的带电小球。当开关s闭合时，带电小球静止在两极板间的中点o处，现把开关打开，带电小球便向平行板电容器的某个极板运动，并与此极板碰撞。设在碰撞时没有机械能损失，但带电小球的电量发生变化。碰后小球带有与该极板相同性质的电荷，而且所带电量恰好刚能使它运动到平行板电容器的另一极板。求小球与电容器某个极板碰撞后所带的电荷。

图2

　　解 当开关s闭合时，设两极板间的电压为u，由qu/d＝mg得u＝mgd/q。
　　由于重力mg方向向下，故推得小球受的电场力qud必定向上，小球所带电荷的正负与下面极板的极性相同。由电路可知，当开关s断开时，两极板的极性不变。设电源电动势为e，开关s断开后电容器两极间的电压为u′，由电路的分压关系可得
　 u＝2/3，　u′＝/，
　 从而u′＝3/4u＝3mgd/4q。
　 由于u′小于u，小球所受电场力变小，小球向下面极板运动，设速度从零增大到v，由动能定理，得
　 mgd/2－qu′/2＝（1/2）mv²－0。
　 设小球与下面极板碰撞后电量变为q′，小球恰能运动到上极板，由动能定理，得
　 －mgd＋q′u′＝0－（1/2）mv²，
　 联立解得 q′＝7/6q。

　　说明 本例涉及含有电容器的电路和带电小球在电场中的平衡及加速问题，求解时需综合应用电路的串、并联关系、二力平衡条件和动能定理等规律，正确分析带电小球的运动过程是解题的关键。

　　例4（2000年 高考 试题） 如图3所示，两根相距为d的足够长的平行金属导轨位于水平的xoy平面内，一端接有阻值为r的电阻。在x＞0的一侧存在沿竖直方向的非均匀磁场，磁感强度b随x的增大而增大，b＝kx，式中的k是一常量。一金属直杆与金属导轨垂直，可在导轨上滑动。当t＝0时位于x＝0处，速度为v₀，方向沿x轴的正方向。在运动过程中，有一大小可调节的外力f作用于金属杆以保持金属杆的加速度恒定，大小为a，方向沿x轴的负方向。设除外接的电阻r外，所有其他电阻都可以忽略。问：

图3

　 （1）该回路中的感应电流持续的时间多长？
　 （2）当金属杆的速度大小为v₀/2时，回路中的感应电动势有多大？
　 （3）若金属杆的质量为m，施加于金属杆的外力f与时间t的关系如何？

　　解 （1）金属杆在导轨上先是向右做加速度为a的匀减速直线运动，到导轨右方最远处速度为零，后又沿导轨向左做加速度为a的匀加速直线运动。当过了y轴后，由于已离开了磁场区，故回路不再有感应电流。以t₁表示金属杆做匀减速运动的时间，有t₁＝v₀a。从而，回路中感应电流持续的时间
　 t＝2t₁＝2v₀/a。
　 （2）以x₁表示金属杆的速度变为v₁＝v₀/2时它所在的x坐标，由v₁²＝v₀²－2ax₁，可得
　 x₁＝3v₀²/8a，
　 从而，此时金属杆所在处的磁感强度
　 b₁＝kx₁＝3kv₀²/8a，
　 所以，此时回路中的感应电动势 ₁＝b₁v₁l＝3kv₀³d/16a。
　 （3）以v和x表示t时刻金属杆的速度和它所在的x坐标，有
　 v＝v₀－at，x＝v₀t－（1/2）at²，
　 故由金属杆切割磁感线产生的感应电动势
　 ＝bvd＝kxvd＝k（v₀t－（1/2）at²）（v₀－at）d，（式中t＜t＝2v₀a）
　 从而，回路中的电流
　 ｉ＝r＝k（v₀t－（1/2）at²）（v₀－at）d/r，
　 考虑到力的方向，金属杆所受的安培力
　 f＝－ｉbd＝－k²（v₀t－（1/2）at²）2（v₀－at）d²/r，
　 由牛顿第二定律知
　 f＋f＝－ma，
　 解得作用在金属杆上的外力
　 f＝k²（v₀t－（1/2）at²）2（v₀－at）d²/r－ma。（式中t＜t＝2v₀a）

　　说明 本例涉及金属杆切割磁感线的电磁感应问题。电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起，要运用力学和电磁学的综合知识来解答。本例的解答便综合运用了运动学公式、牛顿第二定律、感应电动势、安培力计算及欧姆定律等知识。

　　力学与光学的综合
　　物体和光具（如平面镜、透镜）的平移、旋转及振动，可将光路、成像和运动交织在一起，构成力学与几何光学的综合题。物理光学中有关光源的功率、物体对光能的吸收等问题，也常常涉及力学的功能概念。

　　例5 如图4所示，临界角c为45° 的液面上有一点光源s发出一束光垂直入射到水平放置于液体中且距液面为d的平面镜m上。当平面镜m绕垂直过中心o的轴以角速度ω做逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过，则观察者们观察到的光斑在水面上掠过的最大速度为多少？

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