二、填空题:把答案填在题中横线上.

   

   

(18)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是

45°,那么这个正三棱台的体积等于        .

   

(19)在(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,若实数

a>1,那么a=        .

   

(20)在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA＝PB＝PC＝a.那么这个球面的面积是      .

  

 [Key]      二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.

  

三、解答题.

(21)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.

  

 [Key]      三、解答题.

(21)本小题考查三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质.

解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x

=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x

=1+sin2x+(1+cos2x)

=2+sin2x+cos2x

  

  

 [Key]      (22)本小题考查复数基本概念和运算能力.

  

(23)已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC＝2.求点B到平面EFG的距离.

  

 [Key]      (23)本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.

解:如图,连结EG、FG、EF、BD、AC.EF、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.

BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.

由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,

所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.

∵BD⊥AC,

∴EF⊥HC.

∵GC⊥平面ABCD,

∴EF⊥GC,

∴EF⊥平面HCG.

∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.

作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离.

注:未证明“BD不在平面EFG上”不扣分.

   

(24)根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上

是减函数.

  

 [Key]     (24)本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.

证法一:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1<x2,

∵x1<x2,

∴x1-x2<0.

所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.

证法二:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1<x2,

∵  x1<x2,

∴  x1-x2<0.

∵  x1,x2不同时为零,

即  f(x2)<f(x1).

所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.

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